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千奇百怪——整数们的特别之处
2楼
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:16:12
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:16:121：乘法不变，即1*x=x*1=x。
这两条看似简单，但实际上，这是实数域作为线性空间的必要条件。通俗地说就是，线性空间中需要有两个元素，一个加了白加，一个乘了白乘，在实数这个线性空间中，分别是0和1。
这两条看似简单，但实际上，这是实数域作为线性空间的必要条件。通俗地说就是，线性空间中需要有两个元素，一个加了白加，一个乘了白乘，在实数这个线性空间中，分别是0和1。
3楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:16:34
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:16:342：唯一的偶质数。
质数：除1和该数本身之外无其它约数的数。质数有无穷多个，百以内质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。由于比2大的偶数都有约数2，所以它们都不是质数，亦即2是唯一的偶质数。
质数：除1和该数本身之外无其它约数的数。质数有无穷多个，百以内质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。由于比2大的偶数都有约数2，所以它们都不是质数，亦即2是唯一的偶质数。
5楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:17:24
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:17:244：足够为平面地图上色的最少颜色数。
这就是著名的“四色猜想”，即平面地图上有不同的一片一片区域（比如世界地图上的不同国家），对于相邻的区域要用不同的颜色上色，四色猜想说，只要四种颜色，就能按这种要求为任意复杂的平面地图上色，该猜想20世纪被计算机证明，故也称四色定理。
这就是著名的“四色猜想”，即平面地图上有不同的一片一片区域（比如世界地图上的不同国家），对于相邻的区域要用不同的颜色上色，四色猜想说，只要四种颜色，就能按这种要求为任意复杂的平面地图上色，该猜想20世纪被计算机证明，故也称四色定理。
6楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:17:52
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:17:525：柏拉图立体（正多面体）的个数。
正多面体，是指各个面都是全等的正多边形并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。数学上由多面体欧拉定理等都可以证明，正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
正多面体，是指各个面都是全等的正多边形并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。数学上由多面体欧拉定理等都可以证明，正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（即立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
7楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:09
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:096：最小的完美数。
不包括本身的所有约数的和等于该数本身，比如6的约数有1、2、3、6，其中1+2+3=6。完美数很少，并且至今没有发现奇完美数。
不包括本身的所有约数的和等于该数本身，比如6的约数有1、2、3、6，其中1+2+3=6。完美数很少，并且至今没有发现奇完美数。
8楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:36
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:367：边数最少的尺规作图无法做出的正多边形。
高斯作出正十七边形尺规作图法时也给出，尺规作图能做出的正多边形的边数只能是任意个2与任意个不同的费尔马质数连乘的乘积（这里任意个均可以为0个），这样百以内尺规作图能作的正多边形边数为3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96，而正七边形无法由尺规作图作出。（费尔马数：2^(2^k)+1，其中的质数称为费尔马质数，有3、5、17、65537等）
高斯作出正十七边形尺规作图法时也给出，尺规作图能做出的正多边形的边数只能是任意个2与任意个不同的费尔马质数连乘的乘积（这里任意个均可以为0个），这样百以内尺规作图能作的正多边形边数为3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96，而正七边形无法由尺规作图作出。（费尔马数：2^(2^k)+1，其中的质数称为费尔马质数，有3、5、17、65537等）
9楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:54
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:18:548：斐波那契数列中最大的立方数。
斐波那契数列：由0、1开始，之后的每个数都等于前面两个数的和，即0、1、1、2、3、5、8、13……，其中8是最大的立方数，也就是说8以后，斐波那契数列中不再有立方数。
斐波那契数列：由0、1开始，之后的每个数都等于前面两个数的和，即0、1、1、2、3、5、8、13……，其中8是最大的立方数，也就是说8以后，斐波那契数列中不再有立方数。
12楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:20:10
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:20:1011：正整数数字连乘归个位所需最多步数。
把一个正整数的各位数字连乘，得到一个新的整数，再对这个整数的各位数字连乘，以此类推，直到只剩一位数字为止，比如9876，9*8*7*6=3024，3*0*2*4=0，至此只剩一位数字，9876的这个过程一共有2步，而现在发现，正整数最多经历11步就能达到只剩一位数字。
把一个正整数的各位数字连乘，得到一个新的整数，再对这个整数的各位数字连乘，以此类推，直到只剩一位数字为止，比如9876，9*8*7*6=3024，3*0*2*4=0，至此只剩一位数字，9876的这个过程一共有2步，而现在发现，正整数最多经历11步就能达到只剩一位数字。
13楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:20:31
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:20:3112：最小的过剩数。
不包括本身的所有约数的和大于该数本身，12的约数有1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=16>12，从而12是过剩数。较小的自然数中过剩数并不多，20以内只有12和18两个，再除去完美数6，其它的都是不足数，但很大的自然数几乎都是过剩数，“确实很过剩”。
不包括本身的所有约数的和大于该数本身，12的约数有1、2、3、4、6、12，1+2+3+4+6=16>12，从而12是过剩数。较小的自然数中过剩数并不多，20以内只有12和18两个，再除去完美数6，其它的都是不足数，但很大的自然数几乎都是过剩数，“确实很过剩”。
15楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:10
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:1014：满足如下条件的最小的n：没有一个整数与n个小于它的整数互质。
互质，就是指两个数的最大公约数为1，也就是在两个数的所有约数中，只有1是共有的。比如20，在比它小的数中，它与3、7、9、11、13、17、19等7个数互质，比如21，在比它小的数中，它与2、4、5、7、8、10、11、13、16、17、19、20等12个数互质，而有一批数n，所有的数都不会恰好与比它小的n个数互质，也就是或者比n多，或者比n少，这些n就是不可能的个数。而在许许多多的n中，14是最小的一个。（可算解释完了~~~）
互质，就是指两个数的最大公约数为1，也就是在两个数的所有约数中，只有1是共有的。比如20，在比它小的数中，它与3、7、9、11、13、17、19等7个数互质，比如21，在比它小的数中，它与2、4、5、7、8、10、11、13、16、17、19、20等12个数互质，而有一批数n，所有的数都不会恰好与比它小的n个数互质，也就是或者比n多，或者比n少，这些n就是不可能的个数。而在许许多多的n中，14是最小的一个。（可算解释完了~~~）
16楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:34
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:3415：仅有一个有限群的最小合阶数。
这个我也不懂啦，我们当初学线性代数的时候也没讲群论，反正简单地看了一下，大概就是说，阶数，就是有限群里的元素的个数，而对于某些阶数，比如24，一共有15个有限群，而对于另外一些阶数，就只有一个有限群，质数阶数好像都是这样的，而合数里面，最小的一个具有这个性质的阶数，就是15，15阶有限群只有一个，就是C15。
这个我也不懂啦，我们当初学线性代数的时候也没讲群论，反正简单地看了一下，大概就是说，阶数，就是有限群里的元素的个数，而对于某些阶数，比如24，一共有15个有限群，而对于另外一些阶数，就只有一个有限群，质数阶数好像都是这样的，而合数里面，最小的一个具有这个性质的阶数，就是15，15阶有限群只有一个，就是C15。
17楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:54
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:21:5416：唯一一个能满足等式x^y=y^x的整数，其中x和y是不相等的整数。
（x^y表示x的y次方~~~）x，y相等的时候，显然有x^y=y^x，而x，y不相等的时候，只有2^4=4^2=16这唯一一个整数解，也就是2*2*2*2=4*4=16。
（x^y表示x的y次方~~~）x，y相等的时候，显然有x^y=y^x，而x，y不相等的时候，只有2^4=4^2=16这唯一一个整数解，也就是2*2*2*2=4*4=16。
18楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:22:20
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:22:2017：平面对称群组（墙纸群组）的个数。
这个我也不是太明白，看了看大概就是说，忽略二维墙纸的细部颜色形状细节，只考虑小图案的平铺方式，每单位以若干正多边形组成的，不多不少一共有十七种。
这个我也不是太明白，看了看大概就是说，忽略二维墙纸的细部颜色形状细节，只考虑小图案的平铺方式，每单位以若干正多边形组成的，不多不少一共有十七种。
20楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:22:56
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:22:5619：任意正整数表示成整数四次方和形式至多需要的四次方数个数。
类似于前面9的那条，至多需要19个数，它们的四次方的和可以是任意一个整数。
类似于前面9的那条，至多需要19个数，它们的四次方的和可以是任意一个整数。
21楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:23:30
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:23:3021：用不同的小正方形拼大正方形至少需要的个数。
用几个数的平方和凑另一个数的平方很简单，勾股定理，只要两个就可以；用相同的小正方形拼大正方形，这个干脆一点难度都没有，4个，9个，16个，都行；但是要用两两不同的小正方形拼成一个大正方形，就不是那么简单了，至少需要21个不同的小正方形才能做到。（勾股定理跟这个两码事，3*3与4*4不可能拼成5*5）
用几个数的平方和凑另一个数的平方很简单，勾股定理，只要两个就可以；用相同的小正方形拼大正方形，这个干脆一点难度都没有，4个，9个，16个，都行；但是要用两两不同的小正方形拼成一个大正方形，就不是那么简单了，至少需要21个不同的小正方形才能做到。（勾股定理跟这个两码事，3*3与4*4不可能拼成5*5）
22楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:23:48
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:23:4822：8的划分的种数。
把一个正整数拆成若干个正整数的和（若干个也包括一个，也就是这个整数本身），称为一种划分，比如4=3+1，这就是4的一种划分，4=2+1+1，这就是4的另外一种划分，除此之外还有4=4，4=2+2，4=1+1+1+1，总共是5种划分，也就是把四个相同的东西放到若干个相同的盒子里，一共有5种放法。上面说的是4有5种划分，而条目说的是8，有22种划分。
把一个正整数拆成若干个正整数的和（若干个也包括一个，也就是这个整数本身），称为一种划分，比如4=3+1，这就是4的一种划分，4=2+1+1，这就是4的另外一种划分，除此之外还有4=4，4=2+2，4=1+1+1+1，总共是5种划分，也就是把四个相同的东西放到若干个相同的盒子里，一共有5种放法。上面说的是4有5种划分，而条目说的是8，有22种划分。
23楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:24:09
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:24:0923：整数边小长方体不共棱拼成大长方体至少需要的个数。
小长方体拼成大长方体很简单，但是这里要求不共棱，也就是说，每个小长方体的12条棱，所有这些小长方体所有的棱没有任何两条是完全重合的（简单想象一下就知道了，这个很困难的）。那么用边长是整数的小长方体，以这种不共棱的形式拼成大长方体，至少需要23个。（翻到这里我有一句题外话，这数学家啊，有的时候真的是很难理解，你说就这个东西都是谁研究出来的~~~）
小长方体拼成大长方体很简单，但是这里要求不共棱，也就是说，每个小长方体的12条棱，所有这些小长方体所有的棱没有任何两条是完全重合的（简单想象一下就知道了，这个很困难的）。那么用边长是整数的小长方体，以这种不共棱的形式拼成大长方体，至少需要23个。（翻到这里我有一句题外话，这数学家啊，有的时候真的是很难理解，你说就这个东西都是谁研究出来的~~~）
24楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:24:25
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:24:2524：能被平方根以下所有整数整除的最大整数。
平方根常会用在判断质数的场合，如果一个数不能被平方根以下1以上的所有整数整除，那么这个数就是质数。不过这里说的这个事情与之完全相反，能被平方根以下所有整数整除，24的平方根在4和5之间，而24能被1、2、3、4每个数整除，可以认为是天下最合的合数，在所有这样的合数里，24是最大的一个，其它的还有4、6、8、12。
平方根常会用在判断质数的场合，如果一个数不能被平方根以下1以上的所有整数整除，那么这个数就是质数。不过这里说的这个事情与之完全相反，能被平方根以下所有整数整除，24的平方根在4和5之间，而24能被1、2、3、4每个数整除，可以认为是天下最合的合数，在所有这样的合数里，24是最大的一个，其它的还有4、6、8、12。
27楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:25:19
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:25:1927：等于自己立方的数字和的最大的数。
27^3=19683，1+9+6+8+3=27，这样的数里27是最大的。这样的数还有1、8、17、18、26。
27^3=19683，1+9+6+8+3=27，这样的数里27是最大的。这样的数还有1、8、17、18、26。
29楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:25:56
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:25:5629：第七个卢卡斯数。
卢卡斯数就是以1、3为前两项的斐波那契数列，前十项为1、3、4、7、11、18、29、47、76、123。
卢卡斯数就是以1、3为前两项的斐波那契数列，前十项为1、3、4、7、11、18、29、47、76、123。