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千奇百怪——整数们的特别之处
30楼
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:26:12
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 22:26:1230：与所有小于它的合数不互质的最大的数。
原来条目说的是，所有既比它小又与它互质的数都是质数，逆否命题，一回事。对于30，这些质数就是7、11、13、17、19、23、29。30拥有三个小质因数2、3、5，因此与30互质的最小合数是7*7=49。这种数里30是最大的，其它还有3、4、6、8、12、18、24。
原来条目说的是，所有既比它小又与它互质的数都是质数，逆否命题，一回事。对于30，这些质数就是7、11、13、17、19、23、29。30拥有三个小质因数2、3、5，因此与30互质的最小合数是7*7=49。这种数里30是最大的，其它还有3、4、6、8、12、18、24。
31楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:06
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:0631：梅森质数。
梅森质数就是(2^n-1)形式的质数，即“二的n次方减一”，这样的质数有3、7、31、127、8191等。梅森质数虽然不像费尔马质数那样只有前面几个，但也同样稀缺，现在大概发现了46个梅森质数。
梅森质数就是(2^n-1)形式的质数，即“二的n次方减一”，这样的质数有3、7、31、127、8191等。梅森质数虽然不像费尔马质数那样只有前面几个，但也同样稀缺，现在大概发现了46个梅森质数。
33楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:38
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:3833：不能写成不同三角数和形式的最大整数。
先来说三角数。一个点阵，第一行一个点，第二行两个点，以此类推，每行比上一行多一个点，也就是第n行就有n个点（可以想象成跳棋里放棋子的那个区域）。前n行，组成一个三角形，那么这个三角形里所有的点的个数，就是第n个三角形数。也就是说，第n个三角形数，就等于1+2+……+n，等差数列求和，n*(n+1)/2。于是三角数有1、3、6、10、15、21等。比较大的整数，都能拆成若干个不同的三角数的和，而比较小的整数里面有一些就不能，而这些不能这样拆的书里面，最大的是33。
先来说三角数。一个点阵，第一行一个点，第二行两个点，以此类推，每行比上一行多一个点，也就是第n行就有n个点（可以想象成跳棋里放棋子的那个区域）。前n行，组成一个三角形，那么这个三角形里所有的点的个数，就是第n个三角形数。也就是说，第n个三角形数，就等于1+2+……+n，等差数列求和，n*(n+1)/2。于是三角数有1、3、6、10、15、21等。比较大的整数，都能拆成若干个不同的三角数的和，而比较小的整数里面有一些就不能，而这些不能这样拆的书里面，最大的是33。
34楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:55
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:12:5534：与相邻数约数一样多的最小整数。
33的约数有1、3、11、33，34的约数有1、2、17、34，35的约数有1、5、7、35，一样都是四个约数，像这种与邻居约数个数相同的数，34是最小的一个。
33的约数有1、3、11、33，34的约数有1、2、17、34，35的约数有1、5、7、35，一样都是四个约数，像这种与邻居约数个数相同的数，34是最小的一个。
35楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:13:12
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:13:1235：六连块的个数。
这个名字我自己起的，也不知具体该叫什么，反正这个“连块”就是说，1*1的小正方形，n个连在一起。比如说最普通的俄罗斯方块，那里的每个单位就是一个四连块（俄罗斯方块叫Tetris，四连块叫做Tetromino，另外二连块就是传说中的Domino（多米诺））。不考虑旋转和翻转的，称为free，这样四连块一共有5种。只考虑翻转，不考虑旋转，称为one-sided，这样四连块一共有7种，这就是俄罗斯方块里的七种方块（因为游戏里只能旋转不能翻转）。既考虑翻转又考虑旋转，称为fixed，这样四连块一共有19种（并不是四七二十八，因为有的方块是中心对称的，2*2甚至是四方对称的）。这说的是四连块，而这个条目是说，既不考虑旋转又不考虑翻转，也就是free的情况下，六连块一共有35种（还记得中学的时候亲自画过的，很不容易呢）。这个数字增长也很快，都是free，七连块有108种，八连块有369种。
这个名字我自己起的，也不知具体该叫什么，反正这个“连块”就是说，1*1的小正方形，n个连在一起。比如说最普通的俄罗斯方块，那里的每个单位就是一个四连块（俄罗斯方块叫Tetris，四连块叫做Tetromino，另外二连块就是传说中的Domino（多米诺））。不考虑旋转和翻转的，称为free，这样四连块一共有5种。只考虑翻转，不考虑旋转，称为one-sided，这样四连块一共有7种，这就是俄罗斯方块里的七种方块（因为游戏里只能旋转不能翻转）。既考虑翻转又考虑旋转，称为fixed，这样四连块一共有19种（并不是四七二十八，因为有的方块是中心对称的，2*2甚至是四方对称的）。这说的是四连块，而这个条目是说，既不考虑旋转又不考虑翻转，也就是free的情况下，六连块一共有35种（还记得中学的时候亲自画过的，很不容易呢）。这个数字增长也很快，都是free，七连块有108种，八连块有369种。
37楼 wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:14:03
wwqwjsw | 发表于2014-07-31 23:14:0337：任意正整数表示成整数五次方和形式至多需要的五次方数个数。
类似于前面9和19那两条，最多37个五次方数就能累加成任意一个正整数。发现一个小规律，9=8+1，19=16+3，37=32+5，不知道前面和后面还满足不满足。
类似于前面9和19那两条，最多37个五次方数就能累加成任意一个正整数。发现一个小规律，9=8+1，19=16+3，37=32+5，不知道前面和后面还满足不满足。
38楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:28:12
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:28:1238：按字母顺序排列时排在最后的罗马数字。
罗马数字中I是1，V是5，X是10，38写成罗马数字是XXXVIII，把从1到无穷所有的罗马数字放在一起，按照字母顺序abcd排列（原条目用的词是lexicographically，意为“字典编纂地”~~~），前一位相同就看下一位，最后排下来，所有的数里这个XXXVIII是排在最后的。（为了这个条目研究了一上午，突然灵光一闪研究明白了~~~）
罗马数字中I是1，V是5，X是10，38写成罗马数字是XXXVIII，把从1到无穷所有的罗马数字放在一起，按照字母顺序abcd排列（原条目用的词是lexicographically，意为“字典编纂地”~~~），前一位相同就看下一位，最后排下来，所有的数里这个XXXVIII是排在最后的。（为了这个条目研究了一上午，突然灵光一闪研究明白了~~~）
39楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:28:31
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:28:3139：可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数。
前面22里提到过划分，这里是说，一个数，它的三种划分，每种划分都得到了三个小整数，三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数，39是最小的。Excel之，偶终于找到了这三种划分，39=4+15+20=5+10+24=6+8+25，4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。
前面22里提到过划分，这里是说，一个数，它的三种划分，每种划分都得到了三个小整数，三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数，39是最小的。Excel之，偶终于找到了这三种划分，39=4+15+20=5+10+24=6+8+25，4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。
40楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:29:30
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:29:3039：可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数。
前面22里提到过划分，这里是说，一个数，它的三种划分，每种划分都得到了三个小整数，三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数，39是最小的。Excel之，偶终于找到了这三种划分，39=4+15+20=5+10+24=6+8+25，4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。
前面22里提到过划分，这里是说，一个数，它的三种划分，每种划分都得到了三个小整数，三种划分里这三个数的乘积是相同的。这样的数，39是最小的。Excel之，偶终于找到了这三种划分，39=4+15+20=5+10+24=6+8+25，4*15*20=5*10*24=6*8*25=1200。
41楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:29:56
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:29:5640：唯一一个字母按字母顺序排列的数。
就是说40的英文forty这五个字母是按照字母表的先后顺序排的，英文表示的那么多数，这样的数只有40这一个。
就是说40的英文forty这五个字母是按照字母表的先后顺序排的，英文表示的那么多数，这样的数只有40这一个。
42楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:30:16
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:30:1641：一个有如下特性的n值：使得x=0，1，……，n-2时，都有x*x+x+n是质数。
就是说现在n等于41，那么x等于从0到39任意一个数时，x^2+x+41都是质数（41、43、47、53、61、71、83、97等，这是一个两项之间的差为等差数列的数列）。x=40时，这个值就会达到41的平方，不再是合数。要知道质数的分布几乎是找不到规律的，能把40个质数统一在一个式子里是很不简单的事情。
就是说现在n等于41，那么x等于从0到39任意一个数时，x^2+x+41都是质数（41、43、47、53、61、71、83、97等，这是一个两项之间的差为等差数列的数列）。x=40时，这个值就会达到41的平方，不再是合数。要知道质数的分布几乎是找不到规律的，能把40个质数统一在一个式子里是很不简单的事情。
43楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:08
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:0843：含翻转七钻图案数。
前面提到过六连块，那是在拼正方形，现在每个单位变成正三角形，七个正三角形，翻转计入，旋转不计入（这叫做sided 7-iamonds），一共有43种拼法。
前面提到过六连块，那是在拼正方形，现在每个单位变成正三角形，七个正三角形，翻转计入，旋转不计入（这叫做sided 7-iamonds），一共有43种拼法。
44楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:24
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:2444：5件东西完全放错位置的情况个数。
就是说，原本的顺序是12345，现在还是这5个数排在一起，但每个数字都不在自己原来的位置，这样的情况一共有44种。也就是说，一共5位的猜数字游戏，会出现0A5B的猜法一共有44种。
就是说，原本的顺序是12345，现在还是这5个数排在一起，但每个数字都不在自己原来的位置，这样的情况一共有44种。也就是说，一共5位的猜数字游戏，会出现0A5B的猜法一共有44种。
45楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:42
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:4245：雷劈数（卡普利加数）。
卡普利加数是指，如果一个n位数x，把它的平方从中间切开，后面得到一个n位数，前面得到一个n位数或n-1位数，这两个数相加得到原来的数x，那么x就是卡普利加数。45*45=2025，20+25=45。据说这种数是当初数学家卡普利加在暴风雨后看到路边的里程碑被雷劈成两半，一半写着30，一半写着25，30+25=55，55*55=3025。前几个卡普利加数是1，9，45，55，99，297，703。
卡普利加数是指，如果一个n位数x，把它的平方从中间切开，后面得到一个n位数，前面得到一个n位数或n-1位数，这两个数相加得到原来的数x，那么x就是卡普利加数。45*45=2025，20+25=45。据说这种数是当初数学家卡普利加在暴风雨后看到路边的里程碑被雷劈成两半，一半写着30，一半写着25，30+25=55，55*55=3025。前几个卡普利加数是1，9，45，55，99，297，703。
46楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:57
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:31:5746：不含翻转旋转九后问题解法个数。
n后问题是指，把n个国际象棋里的后，放在n*n的正方形棋盘上，要求这些后两两不能互相攻击（不共横线，不共竖线，不共斜线）。普通的国际象棋棋盘上的八后问题有12种解法，这里说的9*9棋盘上的九后问题则有46种解法。这里经过旋转、翻转得到的解法都不计入。
n后问题是指，把n个国际象棋里的后，放在n*n的正方形棋盘上，要求这些后两两不能互相攻击（不共横线，不共竖线，不共斜线）。普通的国际象棋棋盘上的八后问题有12种解法，这里说的9*9棋盘上的九后问题则有46种解法。这里经过旋转、翻转得到的解法都不计入。
47楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:32:15
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:32:1547：不能连加为一个立方数的立方数最大个数。
这种句式就是比较别扭，解释一下。费尔马大定理中指数为三时，有a^3+b^3=c^3没有正整数解，这就是说，两个立方数不可能相加成为一个立方数。或者说，一个立方数不能写成两个数的立方和。这个条目说，有这样一些数n，一个立方数不能写成n个数的立方和，前面说的2就是其中的一个，而这些数里面最大的n是47。
这种句式就是比较别扭，解释一下。费尔马大定理中指数为三时，有a^3+b^3=c^3没有正整数解，这就是说，两个立方数不可能相加成为一个立方数。或者说，一个立方数不能写成两个数的立方和。这个条目说，有这样一些数n，一个立方数不能写成n个数的立方和，前面说的2就是其中的一个，而这些数里面最大的n是47。
49楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:32:50
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:32:5049：与相邻数都是倍平方数的最小整数。
Squareful，这里自己起了个名字叫“倍平方”，就是说这个数或者是完全平方数，或者是完全平方数的整数倍（当然本身也是本身的整数倍啦~~~）。49=7*7，48=2*2*2*2*3，50=2*5*5，链接里把Squareful解释为至少有一对相同的质因数，与前面说的是一个意思。
Squareful，这里自己起了个名字叫“倍平方”，就是说这个数或者是完全平方数，或者是完全平方数的整数倍（当然本身也是本身的整数倍啦~~~）。49=7*7，48=2*2*2*2*3，50=2*5*5，链接里把Squareful解释为至少有一对相同的质因数，与前面说的是一个意思。
51楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:21
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:2151：第六个莫茨金数。
没有图还真不好解释，举个例子吧，架桥，宽n单位的水面，每单位宽度上要架一段桥，“桥段”有三种，上坡，平路，下坡（当然专业一点可以叫做三个向量(1,1)、(1,0)、(1,-1)），三个要求，第一，整座桥不能断开，是一条折线，第二，桥的两端高度都是0，也就是上坡和下坡数量要相等，第三，整个桥面要在水的上方，纵坐标永远不能小于零。非轴对称的翻转所得也计入，这样宽n的水面能造的桥的种数就是第n个莫茨金数。51第六个莫茨金数，是前十个莫茨金数是：1，2，4，9，21，51，127，323，835，2188。
没有图还真不好解释，举个例子吧，架桥，宽n单位的水面，每单位宽度上要架一段桥，“桥段”有三种，上坡，平路，下坡（当然专业一点可以叫做三个向量(1,1)、(1,0)、(1,-1)），三个要求，第一，整座桥不能断开，是一条折线，第二，桥的两端高度都是0，也就是上坡和下坡数量要相等，第三，整个桥面要在水的上方，纵坐标永远不能小于零。非轴对称的翻转所得也计入，这样宽n的水面能造的桥的种数就是第n个莫茨金数。51第六个莫茨金数，是前十个莫茨金数是：1，2，4，9，21，51，127，323，835，2188。
52楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:37
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:3752：第五个贝尔数。
贝尔数：把n个不同的物品分成任意组，每组任意个，总共的分法种数，就是第n个贝尔数。比如1、2、3三个物品，可以有((1),(2),(3))、((1),(2,3))、((1,2),(3))、((1,3),(2))、((1,2,3))这样五种分法，于是第三个贝尔数就是5，而条目说第五个贝尔数是52。前十个贝尔数是1，2，5，15，52，203，877，4140，21147，115975。
贝尔数：把n个不同的物品分成任意组，每组任意个，总共的分法种数，就是第n个贝尔数。比如1、2、3三个物品，可以有((1),(2),(3))、((1),(2,3))、((1,2),(3))、((1,3),(2))、((1,2,3))这样五种分法，于是第三个贝尔数就是5，而条目说第五个贝尔数是52。前十个贝尔数是1，2，5，15，52，203，877，4140，21147，115975。
53楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:52
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:33:5253：唯一一个十进制与十六进制写法相反的两位数。
十进制的53，写成十六进制是35，也就是3*16+5=53，这样的两位数只有这一个。
十进制的53，写成十六进制是35，也就是3*16+5=53，这样的两位数只有这一个。
54楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:34:06
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:34:0654：可用三种方式表示成三数平方和的最小整数。
54=1*1+2*2+7*7=2*2+5*5+5*5=3*3+3*3+6*6，这一条跟前面50那一条还是有密切联系的。
54=1*1+2*2+7*7=2*2+5*5+5*5=3*3+3*3+6*6，这一条跟前面50那一条还是有密切联系的。
56楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:34:37
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:34:3756：五阶正规化拉丁方的个数。
n阶拉丁方，是指一个n*n的方阵，里面的元素有n个1，n个2，……，n个n，也就是从1到n各n个，而且要求相同的数字不共行不共列，那么也就是每行、每列都是由1，2，……，n构成的。而这样交换一下各行各列的顺序就会出现很多拉丁方，比如说四阶拉丁方就有576种。如果要去除这些重复，就要引入正规化的概念，正规化拉丁方，就是指首行首列都是按从1到n的顺序排列的。这样，四阶正规化拉丁方只有四个，而这里条目说的是五阶正规化拉丁方有56个（五阶拉丁方总共有161280个~~~）。
n阶拉丁方，是指一个n*n的方阵，里面的元素有n个1，n个2，……，n个n，也就是从1到n各n个，而且要求相同的数字不共行不共列，那么也就是每行、每列都是由1，2，……，n构成的。而这样交换一下各行各列的顺序就会出现很多拉丁方，比如说四阶拉丁方就有576种。如果要去除这些重复，就要引入正规化的概念，正规化拉丁方，就是指首行首列都是按从1到n的顺序排列的。这样，四阶正规化拉丁方只有四个，而这里条目说的是五阶正规化拉丁方有56个（五阶拉丁方总共有161280个~~~）。
58楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:35:08
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:35:0858：四阶交换半群的个数。
前面说过了，我也不是太懂，简单看了一下，就是说，有一些元素和一种二元运算（就是两个元素进行这种运算得到另一个元素），如果这种运算满足结合律，这个系统就叫半群，如果还满足交换律，这就叫交换半群，而四阶就是指四个元素。于是这里说，四阶交换半群有58个。
前面说过了，我也不是太懂，简单看了一下，就是说，有一些元素和一种二元运算（就是两个元素进行这种运算得到另一个元素），如果这种运算满足结合律，这个系统就叫半群，如果还满足交换律，这就叫交换半群，而四阶就是指四个元素。于是这里说，四阶交换半群有58个。
59楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:35:24
wwqwjsw | 发表于2014-08-01 19:35:2459：星形二十面体的个数。
这里的二十面体是广义的，因为星形多面体大多不是凸多面体。这里二十面体是指整个立体所有的面分布在二十个平面上，同时还有其他几条要求，首先所有的小面要全等，第二，对于20个面中的每一个面，上面的形状要三次对称（就是绕对称中心旋转120度所得形状不变，亦即旋转360度出现三次相同形状，而中心对称实际就是二次对称），第三，所有的部分都要在立体的外侧，第四，能分成两部分，每部分各自有完整对称性的，不计入。以上这五条都满足的星形二十面体，总共有59个。
这里的二十面体是广义的，因为星形多面体大多不是凸多面体。这里二十面体是指整个立体所有的面分布在二十个平面上，同时还有其他几条要求，首先所有的小面要全等，第二，对于20个面中的每一个面，上面的形状要三次对称（就是绕对称中心旋转120度所得形状不变，亦即旋转360度出现三次相同形状，而中心对称实际就是二次对称），第三，所有的部分都要在立体的外侧，第四，能分成两部分，每部分各自有完整对称性的，不计入。以上这五条都满足的星形二十面体，总共有59个。