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千奇百怪——整数们的特别之处
90楼
wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:36:06
wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:36:0691：以3为底的最小伪素数。
素数就是质数。费尔马小定理说，如果p是一个质数，且a不能被p整除，则a^(p-1)－1能被p整除。这也等价于a^p-a能被p整除。不过它的逆命题并不成立。比如341能整除2^341-2，但341=11*31并不是质数。于是引入了伪素数的概念：能整除a^n-a的合数n（其中a>=2，(a,n)＝1（即a、n互质））称为以a为底的伪素数，简记为a-伪素数。以2为底的最小伪素数就是前面提到的341，而以3为底的最小伪素数是91。
素数就是质数。费尔马小定理说，如果p是一个质数，且a不能被p整除，则a^(p-1)－1能被p整除。这也等价于a^p-a能被p整除。不过它的逆命题并不成立。比如341能整除2^341-2，但341=11*31并不是质数。于是引入了伪素数的概念：能整除a^n-a的合数n（其中a>=2，(a,n)＝1（即a、n互质））称为以a为底的伪素数，简记为a-伪素数。以2为底的最小伪素数就是前面提到的341，而以3为底的最小伪素数是91。
91楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:35:14
wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:35:1492：含旋转翻转八后问题解法个数。
46那条里提到过皇后问题，不过那里是九后，这里是正宗的8*8国际象棋棋盘上的八后问题。不过和46那条不同的是，这里的解法个数包含旋转和翻转的。不含旋转翻转的解只有12个，另外80个解都是通过旋转和翻转得到的。
46那条里提到过皇后问题，不过那里是九后，这里是正宗的8*8国际象棋棋盘上的八后问题。不过和46那条不同的是，这里的解法个数包含旋转和翻转的。不含旋转翻转的解只有12个，另外80个解都是通过旋转和翻转得到的。
93楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:12
wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:1294：第六个史密斯数。
把一个合数分解质因数，如果所有质因数的数字和等于原来那个合数的数字和，这个合数就是史密斯数。最小的史密斯数是4，4=2*2，2+2=4，而94=2*47，2+4+7=9+4=13，前十个史密斯数是4、22、27、58、85、94、121、166、202、265。
把一个合数分解质因数，如果所有质因数的数字和等于原来那个合数的数字和，这个合数就是史密斯数。最小的史密斯数是4，4=2*2，2+2=4，而94=2*47，2+4+7=9+4=13，前十个史密斯数是4、22、27、58、85、94、121、166、202、265。
94楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:36:06
wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:36:0695：10的平面划分的个数。
前面提到过划分。平面划分是指，一个矩阵，数字从左到右和从上到下都不增加，就是说，对于每两个相邻的元素，都有左边的大于等于右边的，上边的大于等于下边的，而整个矩阵的元素加起来等于a，这个矩阵就是a的一种平面划分，矩阵中允许右下方有一部分元素为0，但不含全0行列。而条目是说，10的平面划分一共有95种。（根据链接里的内容，10的平面划分一共有500种，所以猜测这里的95种可能是经过了某种限制的，不过没有找到，据我猜大概是要求矩阵中没有0吧）
前面提到过划分。平面划分是指，一个矩阵，数字从左到右和从上到下都不增加，就是说，对于每两个相邻的元素，都有左边的大于等于右边的，上边的大于等于下边的，而整个矩阵的元素加起来等于a，这个矩阵就是a的一种平面划分，矩阵中允许右下方有一部分元素为0，但不含全0行列。而条目是说，10的平面划分一共有95种。（根据链接里的内容，10的平面划分一共有500种，所以猜测这里的95种可能是经过了某种限制的，不过没有找到，据我猜大概是要求矩阵中没有0吧）
95楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:44
wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:4496：能以四种方式写成两个数的平方差的最小整数。
96=10*10-2*2=11*11-5*5=14*14-10*10=25*25-13*13。
96=10*10-2*2=11*11-5*5=14*14-10*10=25*25-13*13。
96楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:43
wwqwjsw | 发表于2014-08-03 03:37:4397：前三个乘方均含数字9的最小整数。
也就是97的平方、立方、四次方都含有数字9，97^2=9409，97^3=912673，97^4=88529281，这样的数里97是最小的一个。
也就是97的平方、立方、四次方都含有数字9，97^2=9409，97^3=912673，97^4=88529281，这样的数里97是最小的一个。
97楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:36:52
wwqwjsw | 发表于2014-08-02 19:36:5298：前五次幂均含数字9的最小整数。
和上面那条类似，98从本身到五次方（这里是从本身算起，而97是从平方算起，但原文并没有体现出区别）都含有数字9，这五个数分别是98、9604、941192、92236816、9039207968。
和上面那条类似，98从本身到五次方（这里是从本身算起，而97是从平方算起，但原文并没有体现出区别）都含有数字9，这五个数分别是98、9604、941192、92236816、9039207968。
102楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:24:22
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:24:22103：把它的末位移至首位得到的数比它的三倍大1。
310=103*3+1。可列不定方程3*(10*a+b)+1=b*10^n+a，整理一下得b*(10^n-3)-29*a=1，b是非零的一位数，只有七种选择（不可能是0、1、2），而方程要求它乘以一个大奇数之后减去1能够被29整除。可以看出这样的数很少，千以内只有这一个。
310=103*3+1。可列不定方程3*(10*a+b)+1=b*10^n+a，整理一下得b*(10^n-3)-29*a=1，b是非零的一位数，只有七种选择（不可能是0、1、2），而方程要求它乘以一个大奇数之后减去1能够被29整除。可以看出这样的数很少，千以内只有这一个。
103楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:25:07
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:25:07105：已知的减掉2的任意次乘方结果均为质数的最大整数。
105减去2的2~6次方分别得到101、97、89、73、41，这几个数都是质数。当然105-2^1=103也是质数，在限定指数大于1的时候，这样的数有7、11、15、21、27、45、75、105。可以看到，数字超过32之后，末位只能是5，否则减出的数中就会有5结尾的合数。
105减去2的2~6次方分别得到101、97、89、73、41，这几个数都是质数。当然105-2^1=103也是质数，在限定指数大于1的时候，这样的数有7、11、15、21、27、45、75、105。可以看到，数字超过32之后，末位只能是5，否则减出的数中就会有5结尾的合数。
106楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:25:59
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:25:59108：3的Hyper阶乘。
n的Hyper阶乘记为H(n)，H(n)=1^1+2^2+……+n^n。H(3)=1*4*27=108。
n的Hyper阶乘记为H(n)，H(n)=1^1+2^2+……+n^n。H(3)=1*4*27=108。
109楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:26:51
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:26:51111：不同质数组成的三阶幻方的最小幻和。
n阶幻方是一个n*n的方阵，方阵中元素两两不同，每行、每列、两条主对角线各自的n个元素相加都等于一个相同的数，这个数称为幻和。111分解成三个质数之和一共有48种方法，其中的八种构成了这个幻方。
n阶幻方是一个n*n的方阵，方阵中元素两两不同，每行、每列、两条主对角线各自的n个元素相加都等于一个相同的数，这个数称为幻和。111分解成三个质数之和一共有48种方法，其中的八种构成了这个幻方。
110楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:27:08
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:27:08112：用不同的小正方形拼成的大正方形最小的边长。
条目21里提到过拼正方形，用不同大小的整数边小正方形拼成大正方形，能拼成的最小的大正方形边长是112。
条目21里提到过拼正方形，用不同大小的整数边小正方形拼成大正方形，能拼成的最小的大正方形边长是112。
114楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:15
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:15116：其阶乘+1为质数。
116的阶乘数量级已经达到10^190。一个大数的阶乘显然有非常多的约数，但在其基础上+1能得到一个质数的几率其实并不大，因为阶乘结果的数量级实在太高了。
116的阶乘数量级已经达到10^190。一个大数的阶乘显然有非常多的约数，但在其基础上+1能得到一个质数的几率其实并不大，因为阶乘结果的数量级实在太高了。
115楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:29
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:29117：整边长海伦四面体最长边的最小可能长度。
海伦三角形是指三角形的每条边边长都是有理数，同时三角形的面积也是有理数；而海伦四面体是指其四个面都是海伦三角形，并且其体积也是有理数。由于有理数可用分数表示，可以把各边长同乘分母最小公倍数，得到整边长海伦三角形/四面体。显然整边长海伦三角形/四面体还可以继续变长同乘整数进行相似放大。这里是说，整边长海伦四面体的最长边，长度至少为117。这个海伦四面体的六条边长为51、52、53、80、84、117，四个面的面积为1170、1800、1890、2016，体积18144。与海伦三角形一样，海伦四面体并不止这一种。
海伦三角形是指三角形的每条边边长都是有理数，同时三角形的面积也是有理数；而海伦四面体是指其四个面都是海伦三角形，并且其体积也是有理数。由于有理数可用分数表示，可以把各边长同乘分母最小公倍数，得到整边长海伦三角形/四面体。显然整边长海伦三角形/四面体还可以继续变长同乘整数进行相似放大。这里是说，整边长海伦四面体的最长边，长度至少为117。这个海伦四面体的六条边长为51、52、53、80、84、117，四个面的面积为1170、1800、1890、2016，体积18144。与海伦三角形一样，海伦四面体并不止这一种。
116楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:44
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:44118：可以划分为四组乘积相同的三个数的最小整数。
前面提到过，39是可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数，118与之类似，又多出了一组神奇的划分。
前面提到过，39是可以划分为三组乘积相同的三个数的最小整数，118与之类似，又多出了一组神奇的划分。
117楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:58
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:28:58119：本身和本身+1分别能被1~8每个数整除的最小整数。
这完全得益于120（5的阶乘）约数众多，119=7*17在其中只贡献了一个7而已。
这完全得益于120（5的阶乘）约数众多，119=7*17在其中只贡献了一个7而已。
118楼 wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:29:14
wwqwjsw | 发表于2014-08-05 20:29:14120：帕斯卡三角（杨辉三角）中出现六次的最小的数。
外国人当然管这个叫帕斯卡三角了，呵呵。总之这个三角第n行就有n个数，每行两端的数为1，其他的数等于上一行中与该数相邻的两数之和。这个三角的第n行同时也是n次二项式的各项系数。可以查到120在第11行和第17行各出现两次，剩下两次当然是在第121行。
外国人当然管这个叫帕斯卡三角了，呵呵。总之这个三角第n行就有n个数，每行两端的数为1，其他的数等于上一行中与该数相邻的两数之和。这个三角的第n行同时也是n次二项式的各项系数。可以查到120在第11行和第17行各出现两次，剩下两次当然是在第121行。